真題實(shí)例講考研數(shù)學(xué)應(yīng)用題的四大類

歷年考研試題中都涉及數(shù)學(xué)實(shí)際應(yīng)用的問題。下面就以考研真題為例，總結(jié)歸納了函數(shù)的極值和最值、積分、微分方程和概率等考研中數(shù)學(xué)應(yīng)用題的四大類型以及各個(gè)類型問題的解法。

1.函數(shù)的極值和最值模型

函數(shù)的極值和最值的應(yīng)用問題主要分為一元函數(shù)和多元函數(shù)的極值和最值的應(yīng)用，解決這類問題的思路是：第一根據(jù)實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系列出函數(shù)關(guān)系式及求出函數(shù)的定義域;第二利用求函數(shù)極值和最值的方法求解。

例如：某廠家生產(chǎn)的一種產(chǎn)品同時(shí)在兩個(gè)市場銷售，售價(jià)分別為p1，p2;銷售量分別為q1和q2;需求函數(shù)分別為q1=24-0.2p1，q2=10-0.05p2;總成本函數(shù)為C=35+40(q1+q2)。試問：廠家如何確定兩個(gè)市場的售價(jià)，能使其獲得的總利潤最大?最大總利潤是多少?

分析：這是一個(gè)典型的二元函數(shù)求最值問題。首先要根據(jù)題意求出總利潤函數(shù)：總利潤=總收益-總成本;其次求出函數(shù)的定義域;最后根據(jù)二元函數(shù)求最值的方法求解即可。

2.積分模型

在積分的應(yīng)用過程中關(guān)鍵要解決好兩個(gè)問題:一是什么樣的量可以用積分來表達(dá);二是用什么樣的積分表達(dá),即確定積分區(qū)域和被積表達(dá)式。

例如：某建筑工程打地基時(shí)，需用汽錘將樁打進(jìn)土層.汽錘每次擊打，都將克服土層對(duì)樁的阻力而作功。設(shè)土層對(duì)樁的阻力的大小與樁被打進(jìn)地下的深度成正比(比例系數(shù)為kk>0)。汽錘第一次擊打?qū)洞蜻M(jìn)地下am。根據(jù)設(shè)計(jì)方案，要求汽錘每次擊打樁時(shí)所作的功與前一次擊打時(shí)所作的功之比為常數(shù)r(0

問：(1)汽錘擊打樁3次后，可將樁打進(jìn)地下多深?(2)若擊打次數(shù)不限，汽錘至多能將樁打進(jìn)地下多深?(注：m表示長度單位米)

分析：本題屬變力做功問題，可用定積分進(jìn)行計(jì)算，而擊打次數(shù)不限，相當(dāng)于求數(shù)列的極限。

3.微分方程模型

應(yīng)用微分方程解決實(shí)際問題,其實(shí)就是建立微分方程數(shù)學(xué)模型,通過建立微分方程、確定定解條件、求解及對(duì)解的分析可以揭示許多自然界和科學(xué)技術(shù)中的規(guī)律。應(yīng)用微分方程解決具體問題時(shí)，首先將實(shí)際問題抽象,建立微分方程,并給出合理的定解條件;其次求解微分方程的通解及滿足定解條件的特解;最后由所求得的解或解的性質(zhì),回到實(shí)際問題。

例如：現(xiàn)有一質(zhì)量為9000kg的飛機(jī)，著陸時(shí)的水平速度為700km/h。經(jīng)測試，減速傘打開后，飛機(jī)所受的總阻力與飛機(jī)的速度成正比(比例系數(shù)為k=6.0×106)。問從著陸點(diǎn)算起，飛機(jī)滑行的最長距離是多少?注：kg表示千克，km/h表示千米/小時(shí)。

分析：本題是以運(yùn)動(dòng)力學(xué)為背景的數(shù)學(xué)應(yīng)用題，可通過利用牛頓第二定理，列出關(guān)系式后再解微分方程即可。

4.概率模型

關(guān)于概率論的應(yīng)用題主要集中在古典概型、隨機(jī)變量的分布以及隨機(jī)變量的數(shù)字特征等方面。應(yīng)用概率論的知識(shí)解決具體問題時(shí)，首先要分析實(shí)際問題，找出隨機(jī)變量的關(guān)系及其分布;下來是列出它們的函數(shù)關(guān)系，利用概率論的有關(guān)知識(shí)求解。

例如：設(shè)某企業(yè)生產(chǎn)線上產(chǎn)品的合格率為0.96，不合格產(chǎn)品中只有3/4的產(chǎn)品可進(jìn)行再加工，且再加工的合格率為0.8，其余均為廢品。已知每件合格品可獲利80元，每件廢品虧損20元，為保證該企業(yè)每天平均利潤不低于2萬元，問該企業(yè)每天至少應(yīng)生產(chǎn)多少產(chǎn)品?

分析：本題為概率論中的數(shù)學(xué)期望在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用，有關(guān)數(shù)字特征的應(yīng)用題主要是隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望、方差等，求解這類問題的關(guān)鍵是找出函數(shù)關(guān)系.根據(jù)題設(shè)列出方程求解。

以上對(duì)高等數(shù)學(xué)研究生入學(xué)考試中的有關(guān)數(shù)學(xué)應(yīng)用題的類型及其解法作了一些探討，主要以考研真題為例對(duì)歷年來的研究生入學(xué)考試的命題特點(diǎn)進(jìn)行了分析，總結(jié)了考研數(shù)學(xué)應(yīng)用題的解決方法，希望對(duì)2014考研學(xué)生有所啟示。

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