2015年湖北高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：《相關(guān)性與最小二乘估計(jì)》

湖北2015年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：《相關(guān)性與最小二乘估計(jì)》

　　2015年湖北高考生正在努力備考中，湖北高考網(wǎng)整理了2015年湖北高考數(shù)學(xué)輔導(dǎo)資料，希望對(duì)大家的復(fù)習(xí)有幫助。

　　一、選擇題

　　1.在下面四個(gè)選項(xiàng)中，圖中的兩個(gè)變量具有相關(guān)關(guān)系的是(　　)

　　A.(1)(2) B.(1)(3)

　　C.(2)(4) D.(2)(3)

　　[答案]　A

　　[解析]　相關(guān)關(guān)系有兩種情況，所有點(diǎn)看上去都在一條直線附近波動(dòng)，是線性相關(guān);若所有點(diǎn)看上去都在某條曲線(不是一條直線)附近波動(dòng)，是非線性相關(guān)的.(3)(4)是不相關(guān)的.

　　2.下列變量之間的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系的是(　　)

　　A.光照時(shí)間與大棚內(nèi)蔬菜的產(chǎn)量

　　B.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c，其中a、c是常數(shù)，b為自變量，因變量是這個(gè)函數(shù)的判別式Δ=b2-4ac

　　C.每畝施肥量與糧食畝產(chǎn)量之間的關(guān)系

　　D.人的身高與所穿鞋子的號(hào)碼之間的關(guān)系

　　[答案]　B

　　[解析]　應(yīng)用變量相關(guān)關(guān)系的定義加以判斷.A項(xiàng)，光照時(shí)間與大棚內(nèi)蔬菜的產(chǎn)量是相關(guān)關(guān)系.B項(xiàng)，判別式Δ=b2-4ac與b是函數(shù)關(guān)系.C項(xiàng)，每畝施肥量與糧食畝產(chǎn)量是相關(guān)關(guān)系.D項(xiàng)，人的身高與所穿鞋子的號(hào)碼在一定時(shí)期是相關(guān)關(guān)系，故選B.

　　3.設(shè)有一個(gè)回歸直線方程為y=2-1.5x，則變量x每增加1個(gè)單位時(shí)(　　)

　　A.y平均增加1.5個(gè)單位B.y平均增加2個(gè)單位

　　C.y平均減少1.5個(gè)單位D.y平均減少2個(gè)單位

　　[答案]　C

　　[解析]　回歸直線方程y=2-1.5x是關(guān)于x的遞減函數(shù)，因?yàn)閥隨x的增大而減小，因此排除了A，B，回歸直線方程y=2-1.5x的一次項(xiàng)系數(shù)為-1.5，因此變量x每增加一個(gè)單位，y平均減少1.5個(gè)單位，因此選C .

　　4.在一組樣本數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散點(diǎn)圖中，若所有樣本點(diǎn)(xi，yi)(i=1,2，…，n)都在直線y=x+1上，則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為(　　)

　　A.-1 B.0

　　C. D.1

　　[答案]　D

　　[解析]　本題考查了相關(guān)系數(shù)及相關(guān)性的判定.

　　樣本相關(guān)系數(shù)越接近1，相關(guān)性越強(qiáng)，現(xiàn)在所有的樣本點(diǎn)都在直線y=x+1上，樣本的相關(guān)系數(shù)應(yīng)為1.

　　要注意理清相關(guān)系數(shù)的大小與相關(guān)性強(qiáng)弱的關(guān)系.

　　5.某產(chǎn)品的廣告費(fèi)用x與銷售額y的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表

　　廣告費(fèi)用x(萬(wàn)元) 4 2 3 5 銷售額y(萬(wàn)元) 49 26 39 54 根據(jù)上表可得回歸方程y=bx+a中的b為9.4，據(jù)此模型預(yù)報(bào)廣告費(fèi)用為6萬(wàn)元時(shí)銷售額為(　　)

　　A.63.6萬(wàn)元 B.65.5萬(wàn)元

　　C.67.7萬(wàn)元 D.72.0萬(wàn)元

　　[答案]　B

　　[解析]　a=-b=-9.4×=9.1，回歸方程為y=9.4x+9.1，令x=6，得y=9.4×6+9.1=65.5(萬(wàn)元).

　　6.工人月工資y(元)依勞動(dòng)生產(chǎn)率x(千元)變化的回歸方程為y=50+80x，下列判斷正確的是(　　)

　　A.勞動(dòng)生產(chǎn)率為1000元時(shí)，工資為130元

　　B.勞動(dòng)生產(chǎn)率提高1000元，則工資平均提高80元

　　C.勞動(dòng)生產(chǎn)率提高1000元，則工資平均提高130元

　　D.當(dāng)月工資為210元時(shí)，勞動(dòng)生產(chǎn)率為2000元

　　[答案]　B

　　[解析]　由線性回歸方程知，回歸方程表示的直線不一定經(jīng)過(guò)各離散點(diǎn)，得到的y值是一個(gè)近似值，故選B.

　　二、填空題

　　7.某飲料店的日銷售收入y(單位：百元)與當(dāng)天平均氣溫x(單位：℃)之間有下列數(shù)據(jù)：

　　x -2 -1 0 1 2 y 5 4 2 2 1 甲、乙、丙三位同學(xué)對(duì)上述數(shù)據(jù)進(jìn)行研究，分別得到了x與y之間的三個(gè)回歸直線方程：y=-x+2.8;y=-x+3;y=-1.2x+2.6，其中正確的是________.(只填寫序號(hào))

　　[答案]

　　[解析]　=0，=2.8，

　　把=0，=2.8代入檢驗(yàn)，只有符合.

　　8.某小賣部為了了解熱茶銷售量y(杯)與氣溫x(℃)之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了某4天賣出的熱茶的杯數(shù)與當(dāng)天氣溫，并制作了對(duì)照表：

　　氣溫(℃) 18 13 10 -1 杯數(shù) 24 34 38 64 由表中數(shù)據(jù)算得線性回歸方程y=bx+a中的b≈-2，預(yù)測(cè)當(dāng)氣溫為-5℃時(shí)，熱茶銷售量為________杯.

　　[答案]　70

　　[解析]　根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)可求得=(18+13+10-1)=10，=(24+34+38+64)=40.

　　a=-b=40-(-2)×10=60.

　　y=-2x+60.

　　當(dāng)x=-5時(shí)，y=-2×(-5)+60=70.

　　三、解答題

　　9.某商場(chǎng)品牌毛衣專柜為了了解毛衣的月銷量y(件)與月平均氣溫x()之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了某4個(gè)月的月銷量與當(dāng)月平均氣溫，其數(shù)據(jù)如下表：

　　月平均氣溫x() 17 13 8 2 月銷量y(件) 24 33 40 55 (1)請(qǐng)畫出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖;

　　(2)根據(jù)表中數(shù)據(jù)求出y關(guān)于x的線性回歸方程y=bx+a;

　　(3)氣象部門預(yù)測(cè)下個(gè)月的平均氣溫約為6，據(jù)此估計(jì)，該商場(chǎng)專柜下個(gè)月毛衣的銷售量約為多少件?

　　[解析]　(1)散點(diǎn)圖如圖所示.

　　(2)由表中數(shù)據(jù)可得：==10，

　　==38，

　　又b=-2，所以a=38-(-2)×10=58，

　　從而線性回歸方程為y=-2x+58.

　　(3)當(dāng)月的平均氣溫約為6時(shí)，其銷售量約為y=-2×6+58=46(件).

　　一、選擇題

　　1.下列敘述中：

　　變量間關(guān)系有函數(shù)關(guān)系，又有相關(guān)關(guān)系;

　　回歸函數(shù)即用函數(shù)關(guān)系近似地描述相關(guān)關(guān)系;

　　i=x1+x2+…+xn;

　　線性回歸方程y=bx+a中，b=，

　　a=-b;

　　線性回歸方程一定可以近似地表示相關(guān)關(guān)系.

　　其中正確的有(　　)

　　A. B.

　　C. D.

　　[答案]　C

　　[解析]　線性回歸方程只能近似地表示線性相關(guān)關(guān)系.

　　2.某考察團(tuán)對(duì)全國(guó)10個(gè)城市進(jìn)行職工人均工資水平x(千元)與居民人均消費(fèi)水平y(tǒng)(千元)統(tǒng)計(jì)調(diào)查，y與x具有相關(guān)關(guān)系，回歸方程y=0.66x+1.562，若某城市居民人均消費(fèi)水平為7.675(千元)，估計(jì)該城市人均消費(fèi)額占人均工資收入的百分比約為(　　)

　　A.83% B.72%

　　C.67% D.66%

　　[答案]　A

　　[解析]　該城市居民人均消費(fèi)水平7.675=0.66x+1.562，

　　解得x≈9.262 1，則估計(jì)該城市人均消費(fèi)額占人均工資收入的百分比約為×100%≈83%.

　　二、填空題

　　3.改革開放以來(lái)，我國(guó)高等教育事業(yè)迅速發(fā)展，為調(diào)查農(nóng)村從2004年到2014年18歲到24歲的青年人每年考入大學(xué)的百分比，為便于統(tǒng)計(jì)，把2004年到2014年的年號(hào)依次編為0,1，…，10作為自變量x，每年考入大學(xué)的百分比作為因變量，進(jìn)行回歸分析，得到回歸直線方程y=1.80+0.42x

　　下面對(duì)數(shù)據(jù)解釋正確的是________.

　　每年升入大學(xué)的百分比為1.80;升入大學(xué)的18歲到24歲的人數(shù)大約每年以0.42%的速度遞增;2004年升入大學(xué)的百分比約為1.80%，2014年升入大學(xué)的百分比約為6%;2004年到2014年升入大學(xué)的人數(shù)成等距離增加.

　　[答案]

　　[解析]　由b=0.42表示回歸直線y=1.80+0.42x的斜率估值，a=1.80表示截距，再結(jié)合直線方程中斜率與截距的意義可得正確.

　　4.在2014年春節(jié)期間，某市物價(jià)部門，對(duì)本市五個(gè)商場(chǎng)銷售的某商品的一天銷售量及其價(jià)格進(jìn)行調(diào)查，五個(gè)商場(chǎng)的售價(jià)x元和銷售量y件之間的一組數(shù)據(jù)如下表所示：

　　價(jià)格x 9 9.5 10 10.5 11 銷售量y 11 10 8 6 5 通過(guò)分析，發(fā)現(xiàn)銷售量y對(duì)商品的價(jià)格x具有線性相關(guān)關(guān)系，則銷售量y對(duì)商品的價(jià)格x的回歸直線方程為________.

　　[答案]　y=-3.2x+40

　　[解析]　由數(shù)據(jù)表可得=10，=8，

　　b=-3.2，y=-3.2x+a，又過(guò)點(diǎn)(10,8)

　　得a=40，回歸直線方程為y=-3.2x+40.

　　三、解答題

　　5.某公司近年來(lái)科研費(fèi)用支出x萬(wàn)元與公司所獲得利潤(rùn)y萬(wàn)元之間有如下的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：

　　x 2 3 4 5 y 18 27 32 35 (1)請(qǐng)畫出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖;

　　(2)觀察散點(diǎn)圖，判斷y與x是否具有線性相關(guān)關(guān)系.

　　[分析]　本題中涉及兩個(gè)變量：利潤(rùn)與科研經(jīng)費(fèi)，以科研經(jīng)費(fèi)為自變量，考查利潤(rùn)的變化趨勢(shì)，從而做出判斷.

　　[解析]　(1)散點(diǎn)圖如下：

　　(2)由圖可知，所有數(shù)據(jù)點(diǎn)接近直線排列，

　　因此認(rèn)為y與x有線性相關(guān)關(guān)系.

　　6.假設(shè)關(guān)于某設(shè)備使用年限x年和所支出的維修費(fèi)用y(萬(wàn)元)，有如下的統(tǒng)計(jì)資料：

　　x 2 3 4 5 6 y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 請(qǐng)畫出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，判斷它們是否具有相關(guān)關(guān)系，若相關(guān)，求出y關(guān)于x的回歸方程.

　　[解析]　散點(diǎn)圖如下：

　　由散點(diǎn)圖可知，兩變量之間具有相關(guān)關(guān)系，且為線性相關(guān).列表，計(jì)算

　　i 1 2 3 4 5 xi 2 3 4 5 6 yi 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 xiyi 4.4 11.4 22.0 32.5 42.0 x 4 9 16 25 36 =4，=5;

　　=90，iyi=112.3 設(shè)所求回歸方程為：y=bx+a，則由上表可得

　　b====1.23，

　　a=-b=5-1.23×4=0.08.

　　回歸方程為y=1.23x+0.08.

　　7.某地最近十年糧食需求量逐年上升，下表是部分統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：

　　年份 2002 2004 2006 2008 2010 需求量(萬(wàn)噸) 236 246 257 276 286 (1)利用所給數(shù)據(jù)求年需求量與年份之間的回歸直線方程=bx+a;

　　(2)利用(1)中所求的直線方程預(yù)測(cè)該地2015年的糧食需求量.

　　溫馨提示：若對(duì)數(shù)據(jù)作適當(dāng)?shù)念A(yù)處理，可避免對(duì)大數(shù)字進(jìn)行運(yùn)算.

　　[解析]　(1)由所給數(shù)據(jù)分析，年需求量與年份之間近似直線上升，可對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理如下表

　　年份-2006 -4 -2 0 2 4 需求量-257 -21 -11 0 19 29 對(duì)預(yù)處理后的數(shù)據(jù)，容易算出

　　=0，=3.2，

　　iyi=-4×(-21)+(-2)×(-11)+2×19+4×29=260，

　　=16+4+0+4+16=40，

　　b===6.5，

　　a=-b=3.2，

　　所求回歸直線方程y-257=6.5(x-2006)+3.2.

　　即y=6.5(x-2006)+260.2

　　(2)當(dāng)x=2015時(shí)，

　　y=6.5(2015-2006)+260.2=318.7萬(wàn)噸，故預(yù)測(cè)2015年糧食需求量約為318.7萬(wàn)噸.