2018年荊楚理工學(xué)院普通專升本考試大綱：《數(shù)學(xué)分析》

荊楚理工學(xué)院2018年普通專升本：《數(shù)學(xué)分析》考試大綱

一、課程名稱



：

數(shù)學(xué)分析

二、適用專業(yè)

: 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)

三、考試方法：

閉卷考試

四、考試時(shí)間：
100

分鐘

五、試卷結(jié)構(gòu)：

總分：
150

分

六、


參考書(shū)目

：

1、

華東

師范大學(xué)數(shù)學(xué)系

編著，

《數(shù)學(xué)分析》（上、下冊(cè)）

，高等教育出版社，
2010

年第
4

版

。

2、劉玉璉編著，

《數(shù)學(xué)分析

講義

》（上、下冊(cè)）

，高等教育出版社，
2012

年

第
5

版。

七、考試的基本要求：

《數(shù)學(xué)分析》

是數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)專升本入學(xué)考試中專業(yè)課考試內(nèi)容，

考生應(yīng)理解和掌握《數(shù)學(xué)分析》中函數(shù)、極限、連續(xù)、微分學(xué)、積分學(xué)和級(jí)數(shù)的基本概念、基本理論、基本方法。應(yīng)具有抽象思維能力、邏輯推理能力、運(yùn)算能力和空間想象能力，能運(yùn)用所學(xué)知識(shí)正確拙推理證明，準(zhǔn)確、簡(jiǎn)捷地計(jì)算。能綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)分析中的基本理論、基本方法分析和解決實(shí)際問(wèn)題。

八、



考試范圍

第一章



實(shí)數(shù)集與函數(shù)

（一）考核內(nèi)容

實(shí)數(shù)及其性質(zhì)
,

絕對(duì)值與不等式。區(qū)間與鄰域，有界集與確界原理。函數(shù)概念
,

函數(shù)的表示法。函數(shù)的四則運(yùn)算,復(fù)合函數(shù),反函數(shù)
,

初等函數(shù)。具有某些特性的函數(shù)：有界函數(shù)、單調(diào)函數(shù)、奇函數(shù)與偶函數(shù)、周期函數(shù)。

（二）考核知識(shí)點(diǎn)

1、實(shí)數(shù)：實(shí)數(shù)的概念，實(shí)數(shù)的性質(zhì)，絕對(duì)值與不等式；

2、數(shù)集、確界原理：區(qū)間與鄰域，有界集與無(wú)界集，上確界與下確界，確界原理；

3、函數(shù)概念：函數(shù)的定義，函數(shù)的表示法(解析法、列表法、和圖象法)，分段函數(shù)；

4、具有某些特征的函數(shù)：有界函數(shù)，單調(diào)函數(shù)，奇函數(shù)與偶函數(shù)，周期函數(shù)。

（三）考核要求

1、

了解實(shí)數(shù)域及性質(zhì)；

2、

掌握幾種不等式及應(yīng)用；

3、

熟練掌握

數(shù)

域，上確界，下確界，確界原理；

4、
牢固掌握函數(shù)復(fù)合、基本初等函數(shù)、初等函數(shù)及某些特性（單調(diào)性、周期性、奇偶性、有界性等）。

第二章

數(shù)列極限

（一）考核內(nèi)容

數(shù)列。數(shù)列極限的

定義
,

無(wú)窮小數(shù)列。收斂數(shù)列性質(zhì)：唯一性、有界性、保號(hào)性、不等式性質(zhì)、迫斂性、四則運(yùn)算法則。子列及子列定理。數(shù)列極限存在的條件：數(shù)列極限的單調(diào)有界定理、柯西收斂準(zhǔn)則。

（二）考核知識(shí)點(diǎn)

1、極限概念

；

2、收斂數(shù)列的性質(zhì)：唯一性，有界性，保號(hào)性，單調(diào)性；

3、數(shù)列極限存在的條件：?jiǎn)握{(diào)有界準(zhǔn)則，迫斂性法則，柯西準(zhǔn)則。

（三）考核要求

1、熟練掌握數(shù)列極限“
”定義

；

2

、掌握收斂數(shù)列的若干性質(zhì)

；

3

、掌握數(shù)列收斂的條件（單調(diào)有界原理、迫斂法則、柯西準(zhǔn)則等）。

第三章

函數(shù)極限

（一）考核內(nèi)容

求

函數(shù)的極限，單側(cè)極限。函數(shù)極限的性質(zhì)

：

唯一性、局部有界性、局部保號(hào)性、不等式性質(zhì)、迫斂性

和

四則運(yùn)算法則

。函數(shù)極限存在的條件：

歸結(jié)原則

、

函數(shù)極限的單調(diào)有界定理和柯西準(zhǔn)則

。

兩個(gè)重要極限。無(wú)窮小量及其階的比較,無(wú)窮大量

，曲線的漸近線。

（二）考核知識(shí)點(diǎn)

1、函數(shù)極限的概念，單側(cè)極限的概念；

2、函數(shù)極限的性質(zhì)：唯一性，局部有界性，局部保號(hào)性，不等式性，迫斂性；

3、函數(shù)極限存在的條件：歸結(jié)原則（
Heine

定理），柯西準(zhǔn)則；

4、兩個(gè)重要極限；

5、無(wú)窮小量與無(wú)窮大量，階的比較。

（三）考核要求

1、熟練掌握使用“
”，“
”語(yǔ)言，

熟練

敘述各類型函數(shù)極限；

2
、掌握函數(shù)極限的若干性質(zhì)；

3

、掌握函數(shù)極限存在的條件。（歸結(jié)原則，柯西準(zhǔn)則，左、右極限
,

單調(diào)有界等）；

4

、熟練應(yīng)用兩個(gè)

重要

極限；

5

、牢固掌握無(wú)窮小（大）的定義、性質(zhì)、

階

的比較。

第四章 函數(shù)連續(xù)性

（一）考核內(nèi)容

函數(shù)在一點(diǎn)的連續(xù)性,左、右連續(xù),間斷點(diǎn)及其分類，區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)。連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)：局部有界性、局部保號(hào)性、四則運(yùn)算、復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：最值定理、介值性定理、根的存在定理，反函數(shù)的連續(xù)性,一致連續(xù)與一致連續(xù)性定理。指數(shù)函數(shù)的連續(xù)性，初等函數(shù)連續(xù)性。

（二）考核知識(shí)點(diǎn)

1、函數(shù)連續(xù)的概念：一點(diǎn)連續(xù)的定義，區(qū)間連續(xù)的定義，單側(cè)連續(xù)的定義，間斷點(diǎn)及其分類；

2、連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：局部性質(zhì)及運(yùn)算，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（最大最小值性、有界性、介值性、一致連續(xù)性），復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性，反函數(shù)的連續(xù)性；

3、初等函數(shù)的連續(xù)性。

（三）考核要求

1、熟練掌握在點(diǎn)連續(xù)的定義,等價(jià)定義；

2、掌握間斷點(diǎn)及其類型；

3、了解在區(qū)間上連續(xù)的定義；

4、掌握在一點(diǎn)連續(xù)的性質(zhì)及閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)；

5、了解初等函數(shù)的連續(xù)性。

第五章 導(dǎo)數(shù)與微分

（一）考核內(nèi)容

導(dǎo)數(shù)的定義，導(dǎo)函數(shù)，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，極值，費(fèi)馬定理。導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則，反函數(shù)的導(dǎo)數(shù), 復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，基本求導(dǎo)法則與公式。參變量函數(shù)的導(dǎo)數(shù),隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。高階導(dǎo)數(shù)。微分概念，微分的幾何意義，微分的運(yùn)算法則，一階微分形式的不變性，高階微分，微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用。

（二）考核知識(shí)點(diǎn)

1、導(dǎo)數(shù)概念：導(dǎo)數(shù)的定義、單側(cè)導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)函數(shù)、導(dǎo)數(shù)的幾何意義；

2、求導(dǎo)法則：導(dǎo)數(shù)公式、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算(四則運(yùn)算)、求導(dǎo)法則（反函數(shù)的求導(dǎo)法則，復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，隱函數(shù)的求導(dǎo)法則，參數(shù)方程的求導(dǎo)法則）；

3、微分：微分的定義，微分的運(yùn)算法則，微分的應(yīng)用；

4、高階導(dǎo)數(shù)與高階微分。

（三）考核要求

1、熟練掌握導(dǎo)數(shù)的定義及其幾何意義；

2、牢固記住求導(dǎo)法則、求導(dǎo)公式；

3、會(huì)求各類函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（復(fù)合函數(shù)、含參變量函數(shù)、隱函數(shù)、冪指函數(shù)、高階導(dǎo)數(shù)（萊布尼茲公式））；

4、掌握微分的概念，并會(huì)用微分進(jìn)行近似計(jì)算；

5、理解連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系。

第六章 微分中值定量、不定式極限

（一）考核內(nèi)容

羅爾中值定理，拉格朗日中值定理，單調(diào)函數(shù)。柯西中值定理。不定式極限，洛必達(dá)法則。

（二）考核知識(shí)點(diǎn)

1、中值定理：羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理；

2、幾種特殊類型的不定式極限與洛必達(dá)法則。

（三）考核要求

1、牢固掌握微分中值定理及應(yīng)用（包括羅爾定理、拉格朗日定理、柯西定理）；

2、會(huì)用洛比達(dá)法則求極限（將其他類型的不定型轉(zhuǎn)化為等類型）。

第七章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

（一）考核內(nèi)容

函數(shù)單調(diào)性與極值。最大值與最小值。函數(shù)的凸性與曲線的拐點(diǎn)。函數(shù)圖象的討論。方程的近似解。 極值的判別法；
函數(shù)的單調(diào)性、凸性討論的有關(guān)理論及結(jié)果；
畫(huà)函數(shù)草圖的基本要素和方法。

（二）考核知識(shí)點(diǎn)

1、函數(shù)的單調(diào)性與極值；

2、函數(shù)的凹凸性與拐點(diǎn)。

（三）考核要求

1、掌握單調(diào)與導(dǎo)數(shù)符號(hào)的關(guān)系，并用它證明單調(diào)，不等式、求單調(diào)區(qū)間、極值等；

2、利用的二階導(dǎo)數(shù)判定凹凸性及拐點(diǎn)；

3、了解凸函數(shù)及性質(zhì)；

4、會(huì)求曲線各種類型的漸近線。

第八章 不定積分

（一）考核內(nèi)容

原函數(shù)與不定積分概念,基本積分表,線性運(yùn)算法則。換元積分法，分部積分法。有理函數(shù)的不定積分,三角函數(shù)有理式的不定積分,某些無(wú)理函數(shù)的不定積分。

（二）考核知識(shí)點(diǎn)

1、不定積分概念；

2、換元積分法與分部積分法；

3、幾類可化為有理函數(shù)的積分；

（三）考核要求

1、掌握原函數(shù)與不定積分的概念；

2、記住基本積分公式；

3、熟練掌握換元法、分部積分法；

4、了解有理函數(shù)積分步驟，并會(huì)求可化為有理函數(shù)的積分。

第九章 定積分

（一）考核內(nèi)容

概念引入（曲邊梯形面積與變力作功），定積分定義，定積分的幾何意義。牛頓－萊布尼茲公式?？煞e的必要條件，可積的充要條件，可積函數(shù)類：閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)、只有有限個(gè)間斷點(diǎn)的有界函數(shù)、單調(diào)函數(shù)。定積分的基本性質(zhì)，積分中值定理。變限積分與原函數(shù)的存在性，微積分學(xué)基本定理、定積分的換元積分法和分部積分法。

（二）考核知識(shí)點(diǎn)

1、定積分的概念：概念的引入、黎曼積分定義，函數(shù)可積的必要條件；

2、可積性條件：可積的必要條件和充要條件，達(dá)布上和與達(dá)布下和，可積函數(shù)類(連續(xù)函數(shù)，只有有限個(gè)間斷點(diǎn)的有界函數(shù)，單調(diào)函數(shù))；

3、微積分學(xué)基本定理：可變上限積分，牛頓-萊布尼茲公式；

4、反常積分：無(wú)窮積分收斂與發(fā)散的概念，審斂法（柯西準(zhǔn)則，比較法，狄利克雷與阿貝爾判別法）；
瑕積分收斂與發(fā)散的概念，收斂判別法。

（三）考核要求

1、掌握定積分定義、性質(zhì)；

2、了解可積條件，可積函數(shù)類；

3、深刻理解微積分基本定理，并會(huì)熟練應(yīng)用；

4、熟練計(jì)算定積分；

5、掌握廣義積分收斂定義及判別法，會(huì)計(jì)算廣義積分。

第十章 定積分應(yīng)用

（一）考核內(nèi)容

微元法。平面圖形的面積。由平行截面面積求體積，旋轉(zhuǎn)體體積。平面曲線的弧長(zhǎng)、曲率。旋轉(zhuǎn)曲面的面積。定積分的近似計(jì)算。

（二）考核知識(shí)點(diǎn)

1、定積分的幾何應(yīng)用：平面圖形的面積，微元法，已知截面面積函數(shù)的立體體積，旋轉(zhuǎn)體的體積，平面曲線的弧長(zhǎng)；

（三）考核要求

1、熟練計(jì)算各種平面圖形面積；

2、會(huì)求旋轉(zhuǎn)體或已知截面面積的體積；

3、會(huì)利用定積分求孤長(zhǎng)。

第十一章 多元函數(shù)極限與連續(xù)

（一）考核內(nèi)容

平面點(diǎn)集概念，R2上的完備性定理,二元函數(shù)和n元函數(shù)概念。二重極限,累次極限。二元函數(shù)的連續(xù)性,復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性。有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。

（二）考核知識(shí)點(diǎn)

1、平面點(diǎn)集與多元函數(shù)的概念；

2、二元函數(shù)的極限、累次極限；

3、二元函數(shù)的連續(xù)性：二元函數(shù)的連續(xù)性概念、連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)及初等函數(shù)連續(xù)性。

（三）考核要求

1、了解平面點(diǎn)集的若干概念；

2、掌握二元函數(shù)二重極限定義、性質(zhì)；

3、掌握二次極限，并掌握二重極限與二次極限的關(guān)系；

4、掌握二元連續(xù)函數(shù)定義、性質(zhì)。

第十二章 多元函數(shù)微分學(xué)

（一）考核內(nèi)容

多元函數(shù)的可微性與全微分，偏導(dǎo)數(shù)及其幾何意義,全微分存在的必要條件、充分條件，可微性的幾何意義及應(yīng)用。復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，復(fù)合函數(shù)的全微分。方向?qū)?shù)與梯度。高階偏導(dǎo)數(shù)，二元函數(shù)的中值定理和秦勒公式，二元函數(shù)的極值與最值。

（二）考核知識(shí)點(diǎn)

1、可微性：偏導(dǎo)數(shù)的概念 ，偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義，偏導(dǎo)數(shù)與連續(xù)性；
全微分概念；
連續(xù)性與可微性，偏導(dǎo)數(shù)與可微性；

2、多元復(fù)合函數(shù)微分法及求導(dǎo)公式；

3、方向?qū)?shù)與梯度；

4、泰勒定理與極值。

（三）考核要求

1、熟練掌握可微，偏導(dǎo),可微的意義；

2、掌握二元函數(shù)可微，連續(xù)以及偏導(dǎo)函數(shù)連續(xù)等概念之間的關(guān)系；

3、會(huì)計(jì)算各種類型函數(shù)的偏導(dǎo)，函數(shù)的全微分；

4、會(huì)求空間曲面的切平面，法線；

5、會(huì)求函數(shù)的方向?qū)?shù)；

6、會(huì)求二元函數(shù)的無(wú)條件極值。

第十三章 隱函數(shù)定理及其應(yīng)用

（一）考核內(nèi)容

隱函數(shù)概念，隱函數(shù)存在性條件的分析，隱函數(shù)（存在惟一性、可微性）定理，隱函數(shù)求導(dǎo)。隱函數(shù)組概念，函數(shù)行列式，隱函數(shù)組定理，隱函數(shù)組求導(dǎo)，反函數(shù)組與坐標(biāo)變換。幾何應(yīng)用。條件極值與拉格朗日乘數(shù)法。

（二）考核知識(shí)點(diǎn)

1、隱函數(shù)：隱函數(shù)的概念，隱函數(shù)的定理，隱函數(shù)求導(dǎo)舉例；

2、隱函數(shù)組：隱函數(shù)組存在定理，反函數(shù)組與坐標(biāo)變換，雅可比行列式；

3、幾何應(yīng)用：平面曲線的切線與法線，空間曲線的切線與法平面，曲面的切平面和法線；
條件極值：條件極值的概念，條件極值的必要條件。

（三）考核要求

1、掌握一個(gè)方程確定的隱函數(shù)的條件，隱函數(shù)性質(zhì)，隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（偏導(dǎo)）公式；

2、會(huì)求空間曲線的切線與法平面；

3、會(huì)求曲面的切平面與法線；

4、掌握條件極值的拉格朗日乘數(shù)法。

第十四章 重積分

（一）考核內(nèi)容

平面圖形的面積，二重積分的定義及其存在性，二重積分性質(zhì)。直角坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算(化為累計(jì)積分)。格林公式，平面曲線積分與路線無(wú)關(guān)的等價(jià)條件，原函數(shù)。二重積分的變量替換公式，用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分。三重積分的概念與性質(zhì)，化三重積分為累次積分，三重積分的換元法，柱坐標(biāo)變換與球坐標(biāo)變換。重積分在的應(yīng)用：曲面的面積。

（二）考核知識(shí)點(diǎn)

1、二重積分概念：二重積分的概念，可積條件，可積函數(shù)，二重積分的性質(zhì)；

2、二重積分的計(jì)算：化二重積分為累次積分，換元法（極坐標(biāo)變換，一般變換）；

3、含參變量的積分；

4、三重積分計(jì)算：化三重積分為累次積分, 換元法（一般變換，柱面坐標(biāo)變換，球坐標(biāo)變換）；

5、重積分應(yīng)用：立體體積，曲面的面積，物體的重心，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；

6、含參量非正常積分概念及其一致斂性：含參變量非正常積分及其一致收斂性概念，一致收斂的判別法(柯西準(zhǔn)則，與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂性的關(guān)系，一致收斂的判別法)，含參變量非正常積分的分析性質(zhì)。

（三）考核要求

1、了解二重積分，三重積分的定義與性質(zhì)；

2、掌握二重積分的換序，變量代換；

3、了解三重積分的換序，會(huì)用球、柱、廣義球坐標(biāo)進(jìn)行代換計(jì)算三重積分；

4、了解含參量正常積分的定義及性質(zhì)。

第十五章 曲線積分與曲面積分

（一）考核內(nèi)容

第一型曲線積分的定義與計(jì)算。第二型曲線積分的定義和計(jì)算，兩類曲線積分的聯(lián)系。第一型曲面積分概念、性質(zhì)和計(jì)算。曲面的側(cè),第二型面積分概念、性質(zhì)和計(jì)算，兩類曲面積分之間的聯(lián)系。高斯公式,斯托克斯公式，空間曲線積分與路線無(wú)關(guān)的等價(jià)條件。

（二）考核知識(shí)點(diǎn)

1、第一型曲線積分的概念、性質(zhì)與計(jì)算，第一型曲面積分的的概念、性質(zhì)與計(jì)算；

2、第二型曲線積分的概念、性質(zhì)與計(jì)算，變力作功，兩類曲線積分的聯(lián)系；

3、格林公式，曲線積分與路線的無(wú)關(guān)性, 全函數(shù)；

4、曲面的側(cè)，第二型曲面積分概念及性質(zhì)與計(jì)算，兩類曲面積分的關(guān)系;

5、高斯公式，斯托克斯公式，空間曲線積分與路徑無(wú)關(guān)性；

（三）考核要求

1、熟練掌握第一、二型曲線、曲面積分的計(jì)算方法；

2、了解兩種曲線積分，兩種曲面積分關(guān)系；

3、熟練運(yùn)用格林公式，高斯公式，斯托克斯公式的計(jì)算；

4、掌握積分與路徑無(wú)關(guān)的條件。



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