2014年黃岡師范學院專升本《數(shù)學分析》考試大綱

黃岡師范學院
2014年專升本《數(shù)學分析》考試大綱

一、參考教材

華東師大數(shù)學系編，數(shù)學分析（上、下冊），高等教育出版社，2005，（第三版）

二、考試的內(nèi)容及基本要求

第1章 實數(shù)集與函數(shù)

考試內(nèi)容：

1．實數(shù)分類、實數(shù)的性質(zhì)(對四則運算的封閉性、有序性、阿基米德性、稠密性)、絕對值與不等式；

2．區(qū)間、鄰域、數(shù)集、確界原理；

3．函數(shù)表示法、函數(shù)四則運算、復合函數(shù)、反函數(shù)、初等函數(shù)；

4．有界函數(shù)、單調(diào)函數(shù)、奇函數(shù)、偶函數(shù)、周期函數(shù)；

基本要求：

1、要熟練掌握實數(shù)域及性質(zhì)；

2、掌握幾個常用的不等式；

3、熟練掌握鄰域，上確界，下確界，確界原理；

4、牢固掌握函數(shù)的復合法則、基本初等函數(shù)、初等函數(shù)及某些特性（單調(diào)性、周期性、奇偶性、有界性等）。

第2章 數(shù)列極限

考試內(nèi)容：

1．數(shù)列極限的“ ”定義及其幾何意義、無窮小數(shù)列；

2．收斂數(shù)列的唯一性、有界性、保號性、不等式、迫斂性、四則運算法則；

3．單調(diào)有界定理、柯西收斂準則。

基本要求：

1、要熟練掌握數(shù)列極限“ ”定義；

2、掌握收斂數(shù)列的若干性質(zhì)；

3、掌握數(shù)列收斂的條件（單調(diào)有界原理、迫斂法則、柯西準則等）。

第3章 函數(shù)極限

考試內(nèi)容：

1．函數(shù)極限概念的“ ”、“ ”定義，單側(cè)極限及其與極限的關系；

2．函數(shù)極限的唯一性、局部有界性、局部保號性、不等式、迫斂性、四則運算法則；

3．函數(shù)極限的單調(diào)有界定理、歸結(jié)原則、柯西準則；

4．兩個重要的極限 和 ；

5．無窮小量和無窮大量的比較。

基本要求：

1、熟練掌握使用“ ”，“ ”語言，能用不等式敘述各類型函數(shù)極限的概念；

2、掌握函數(shù)極限的若干性質(zhì)；

3、掌握函數(shù)極限存在的條件（歸結(jié)原則，柯西準則，左、右極限、單調(diào)有界等）；

4、會熟練應用兩個特殊極限；

5、能掌握無窮?。ù螅┑亩x、性質(zhì)、階的比較。

第4章 函數(shù)的連續(xù)性

考試內(nèi)容：

1．函數(shù)在一點連續(xù)(左、右連續(xù))及間斷點的概念、間斷點的分類；

2．連續(xù)函數(shù)的局部有界性、局部保號性，連續(xù)函數(shù)的四則運算及復合函數(shù)的連續(xù)性；

3．閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最值性、介值性、根的存在性定理，反函數(shù)的連續(xù)性、初等函數(shù)的連續(xù)性、一致連續(xù)性。

基本要求：

1、要熟練掌握 在 點連續(xù)的定義和等價定義；

2、熟練掌握間斷點及其分類；

3、熟練掌握 在一點連續(xù)性質(zhì)及在區(qū)間上連續(xù)性質(zhì)；

4、熟練掌握初等函數(shù)的連續(xù)性。

第5章 導數(shù)和微分

考試內(nèi)容：

1．切線問題、瞬時速度、導數(shù)定義、單側(cè)導數(shù)、導數(shù)的幾何意義、導函數(shù)；

2．導數(shù)的四則運算、反函數(shù)的導數(shù)、復合函數(shù)的導數(shù)；

3．微分的概念、微分的四則運算、一階微分形式不變性、近似計算與誤差估計；

4．高階導數(shù)與高階微分、參數(shù)方程和隱函數(shù)求導法。

基本要求：

1、熟練掌握導數(shù)的定義，幾何、物理意義；

2、牢固記住求導法則、求導公式；

3、會求各類的導數(shù)（復合、參量、隱函數(shù)、冪指函數(shù)、高階導數(shù)（萊布尼茲公式）；

4、掌握微分的概念，并會用微分進行近似計算；

5、掌握連續(xù)、可導、可微之間的關系。

第6章 微分中值定理及應用

考試內(nèi)容：

1．費馬定理、羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理；

2． 型不定式極限、 型不定式極限、其它類型不定式極限；

3．函數(shù)的單調(diào)性與極值；

4．函數(shù)的凸凹性與拐點；

5．函數(shù)圖象的討論。

基本要求：

1、牢固掌握微分中值定理并會靈活應用；

2、 會用洛比達法則求極限，會將其他類型的不定型轉(zhuǎn)化為 和 型；

3、掌握 單調(diào)與 符號的關系，并用它證明 單調(diào)，不等式、求單調(diào)區(qū)間、極值等；

4、利用 判定凹凸性及拐點；

5、掌握凸函數(shù)概念及性質(zhì)；

6、會求曲線各種類型的漸近線性。

第7章 實數(shù)的完備性

考試內(nèi)容：

1．確界原理、閉區(qū)間套定理、柯西收斂準則、聚點定理、致密性定理、有限覆蓋定理、單調(diào)有界定理。

基本要求：

1、了解下列基本概念：區(qū)間套、覆蓋、有限覆蓋、聚點、子列的概念；

2、了解實數(shù)完備性的七個等價定理的結(jié)論。

第8章 不定積分

考試內(nèi)容：

1．原函數(shù)、不定積分、基本積分表、不定積分的線性運算法則。

2．第一換元積分法、第二換元積分法、分部積分法；

3．有理函數(shù)的積分、三角函數(shù)有理式的積分、某些簡單無理函數(shù)的積分；

基本要求：

1、掌握原函數(shù)與不定積分的概念，記住基本積分公式；

2、熟練掌握換元法、分部積分法；

3、熟練掌握有理函數(shù)積分步驟，并會求可化為有理函數(shù)的積分。

第9章 定積分

考試內(nèi)容：

1．定積分定義、可積條件、三類可積函數(shù)

2．定積分的線性性質(zhì)、對區(qū)間的可加性、單調(diào)性、絕對可積性、積分中值定理

3．變動上限的積分、牛頓-萊布尼茨公式、換元積分法、分部積分法

基本要求：

1、掌握定積分定義、性質(zhì)、可積條件，可積函數(shù)類。

2、熟練掌握微積分基本定理，并會熟練應用。

3、會熟練計算定積分。

第10章 定積分應用

考試內(nèi)容：

1．平面圖形的面積、函數(shù)的平均值

2．由截面面積求立體體積

3．曲線的弧長

4．旋轉(zhuǎn)曲面的面積

基本要求：

1、要求能熟練計算各種平面圖形面積。

2、會求已知截面面積的物體和旋轉(zhuǎn)體的體積。

3、會利用定積分求孤長、旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積。

第12章 數(shù)項級數(shù)

考試內(nèi)容：

1、數(shù)項級數(shù)收斂、發(fā)散、和的概念，柯西準則，收斂級數(shù)的性質(zhì)

2、正級數(shù)的收斂原則、比較原則、比式判別法、根式判別法、積分判別法

基本要求：

1、掌握數(shù)項級數(shù)斂散的定義、性質(zhì)。

2、熟練掌握正項級數(shù)的斂散判別法。

第13章 函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)

考試內(nèi)容：

1．函數(shù)列的極限函數(shù)、函數(shù)項級數(shù)的和函數(shù)、函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性、一致收斂柯西準則、 判別法

2．極限函數(shù)與和函數(shù)的連續(xù)性、可積性(逐項積分)、可微性(逐項微分)

基本要求：

1、掌握函數(shù)列及函數(shù)項級數(shù)的一致收斂定義。

2、掌握函數(shù)列、函數(shù)項級數(shù)一致收斂的判別法。

3、掌握函數(shù)列的極限函數(shù)、函數(shù)項級數(shù)的和函數(shù)的性質(zhì)。

第14章 冪級數(shù)

考試內(nèi)容：

1．冪級數(shù)、阿貝爾定理、收斂半徑和收斂域、內(nèi)閉一致收斂性、和函數(shù)的連續(xù)性、可積性(逐項積分)、可微性(逐項微分)

基本要求：

1、熟練冪級數(shù)收斂域，收斂半徑，及和函數(shù)的求法。

2、了解冪級數(shù)的若干性質(zhì)。

3、了解求一般任意階可微函數(shù)的冪級數(shù)展式的方法。特別牢固記住五種函數(shù) 、 、 、 、 的馬克勞林展式。

4、會利用間接法求一些初等函數(shù)的冪級數(shù)展式。

第15章 傅里葉級數(shù)

考試內(nèi)容：三角級數(shù)、三角函數(shù)系的正交性、收斂定理、以 為周期的傅立葉級數(shù)。

基本要求：熟記傅里葉系數(shù)公式，并會求之。

第16章 多元函數(shù)極限與連續(xù)

考試內(nèi)容：

1、平面點集的鄰域、內(nèi)點、外點、界點、開集、閉集、區(qū)域、開區(qū)域、閉區(qū)域

2、二元函數(shù)的概念及幾何表示、任意多元函數(shù)的概念

3、二元函數(shù)的極限(重極限、累次極限)

基本要求：

1、了解平面點集的若干概念。

2、掌握二元函數(shù)二重極限定義、性質(zhì)。

3、掌握二次極限，并掌握二重極限與二次極限的關系。

4、掌握二元連續(xù)函數(shù)定義、性質(zhì)。

第17章 多元函數(shù)微分學

考試內(nèi)容：

1、偏導數(shù)及其幾何意義

2、復合函數(shù)的偏導數(shù)及全微分

3、空間曲線的切線與法平面

基本要求：

1、熟練掌握可微、偏導數(shù)的意義。

2、掌握二元函數(shù)可微、偏導數(shù)、連續(xù)以及偏導函數(shù)連續(xù)等概念之間關系。

3、會計算各種類型的偏導數(shù)、全微分。

第18章 隱函數(shù)定理及其應用

考試內(nèi)容：

1、隱函數(shù)概念、隱函數(shù)定理、隱函數(shù)導數(shù)

2、條件極值概念、拉格朗日乘數(shù)法

基本要求：

1、掌握由一個方程確定的隱函數(shù)的條件，隱函數(shù)性質(zhì)，隱函數(shù)的導數(shù)（偏導）公式。

2、會求空間曲線的切線與法平面、會求空間曲面的切平面與法線。

3、掌握條件極值的拉格朗日乘數(shù)法。

第20章 重積分

考試內(nèi)容：

1、二重積分概念、可積條件、性質(zhì)

2、二重積分化為累次積分、 二重積分換元法(極坐標變換、 一般曲線變換)、含參量積分導數(shù)

3、分概念、性質(zhì)(與二重積分相同)

4、分化為累次積分、 三重積分換元法(柱坐標變換、 球坐標變換)

基本要求：

1、了解二重積分、三重積分定義與性質(zhì)。

2、掌握二重積分的換序和變量代換。