2020年黃岡師范學院專升本數學與應用數學專業(yè)《專業(yè)綜合》考試大綱

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九、數學與應用數學專業(yè)《專業(yè)綜合》考試大綱

課程一：《高等代數》考試大綱（總分75分）

一、考核目標

高等代數是是數學與應用數學專業(yè)的一門專業(yè)必修課，屬基礎主干課程、也是學位課程，是學習其它數學學科和其它現代科學學科的必備基礎。與數學分析、空間解析幾何一起，組成數學必需的基本知識以及研究方法，是學習泛函分析、近世代數、初等數論等后繼課程的學習基礎。高等代數是中學代數的繼續(xù)和提高，對于中學數學教學工作具有重要的理論指導作用。通過本課程的學習，使學生掌握為進一步提高專業(yè)知識水平所必需的代數基礎理論和基本方法。

二、參考教材

北京大學數學系幾何與代數教研室編，高等代數，高等教育出版社，2013年8月第4版。

三、試題類型

選擇題、填空題、計算題、證明題。

四、考試的內容及基本要求

第二章  行列式

考試內容：

1．n級排列、逆序數、偶（奇）排列、對換、排列的奇偶性；

2．一般行列式的定義、n級行列式的性質；

3．行列式的變換、行列式計算；

4．行列式按一行展開的性質、展開性質的應用；

5．Cramer法則、Laplace 定理、行列式乘法法則；

基本要求：

1．掌握n階行列式的概念與性質；

2．學會用行列式的性質熟練地計算行列式；

3．掌握克萊姆法則及拉普拉斯定理。

第三章  線性方程組

考試內容：

1．消元法、方程組的初等變換、方程組的有解判別；

2．n維向量概念、n維向量的運算、線性組合、向量組等價、線性相關（無關）、線性相關性的判定、極大線性無關組及向量組的秩；

3．矩陣秩的求法；

4．線性方程組有解判定定理、線性方程組解的求法、齊次線性方程組解的結構、一般線性方程組解的結構、線性方程組解的幾何意義；

5．兩個多項式的結式、二元高次方程組的解法。

基本要求：

1．理解消元法與矩陣初等變換的關系，能熟練地運用消元法求解一般的線性方程組；

2．正確理解和掌握矩陣的秩的概念，能熟練地運用矩陣的初等變換求矩陣的秩；

3．掌握線性方程組有解的判定定理及其應用；

4．能熟練地求齊次線性方程組的基礎解系；

5．掌握一般線性方程組在有解的情況下解的結構；

6．掌握n個未知量n個方程的齊次線性方程組存在非零解的充要條件。

第四章  矩陣

考試內容：

1．矩陣的概念、矩陣的運算、矩陣乘積的行列式與秩；

2．可逆矩陣、可逆矩陣的性質、可逆矩陣的兩個應用；

3．矩陣的分塊、分塊矩陣的乘積、分塊矩陣的應用；

4．逆矩陣的求法、分塊乘法的初等變換。

基本要求：

1．掌握矩陣的加法、數乘、乘法、轉置及其運算規(guī)律，并能熟練地運用；

2．掌握矩陣可逆的概念及其判定方法；

3．熟悉和掌握矩陣乘積的行列式及其秩的定理；

4．掌握初等矩陣的概念、初等矩陣與初等變換的關系以及用初等變換求逆矩陣的方法。

課程二：《數學分析》考試大綱（總分75分）

一、考核目標

通過本課程的教學，使學生掌握數學分析的基本內容和方法，為后續(xù)課程打下良好的基礎；為培養(yǎng)學生的嚴謹的數學思維能力和探索能力提供必要的訓練；深入地理解數學分析的基本概念和基本理論，掌握典型的分析方法，使學生初步具備應用數學方法分析問題和解決問題的能力。

二、參考教材

華東師范大學數學系編，數學分析（上），高等教育出版社，2010年7月第4版。

三、試題類型

選擇題、填空題、計算題、證明題。

四、考試的內容及基本要求

第1章  實數集與函數

考試內容：

1．實數分類、實數的性質（對四則運算的封閉性、有序性、阿基米德性、稠密性）、絕對值與不等式；

2．區(qū)間、鄰域、數集、確界原理；

3．函數表示法、函數四則運算、復合函數、反函數、初等函數；

4．有界函數、單調函數、奇函數、偶函數、周期函數。

基本要求：

1．熟練掌握實數域及性質；

2．掌握幾個常用的不等式；

3．熟練掌握鄰域、上確界、下確界以及確界原理；

4．牢固掌握函數的復合法則、基本初等函數、初等函數及某些特性（單調性、周期性、奇偶性、有界性等）。

第2章  數列極限

考試內容：

1．數列極限的“”定義及其幾何意義、無窮小數列；

2．收斂數列的唯一性、有界性、保號性、不等式性、迫斂性、四則運算法則；

3．單調有界定理、柯西收斂準則。

基本要求：

1．熟練掌握數列極限“”定義；

2．掌握收斂數列的若干性質；

3．掌握數列收斂的條件（單調有界原理、迫斂法則、柯西準則等）。

第3章  函數極限

考試內容：

1．函數極限概念的“”、“”定義，單側極限及其與極限的關系；

2．函數極限的唯一性、局部有界性、局部保號性、不等式性、迫斂性、四則運算法則；

3．函數極限的單調有界定理、歸結原則、柯西準則；

4．掌握兩個重要的極限；

5．無窮小量和無窮大量的比較。

基本要求：

1．熟練掌握使用函數極限“”“”的概念；

2．掌握函數極限的若干性質；

3．掌握函數極限存在的條件（歸結原則，柯西準則，左、右極限、單調有界等）；

4．熟練應用兩個兩個重要的極限；

5．能掌握無窮?。ù螅┑亩x、性質、階的比較。

第4章  函數的連續(xù)性

考試內容：

1．函數在一點連續(xù)（左、右連續(xù)）及間斷點的概念、間斷點的分類；

2．連續(xù)函數的局部有界性、局部保號性，連續(xù)函數的四則運算及復合函數的連續(xù)性；

3．閉區(qū)間上連續(xù)函數的最值性、介值性、根的存在性定理，反函數的連續(xù)性、初等函數的連續(xù)性、一致連續(xù)性。

基本要求：

1．熟練掌握在點連續(xù)的定義和等價定義；

2．熟練掌握間斷點及其分類；

3．熟練掌握在一點連續(xù)性質及在區(qū)間上連續(xù)性質；

4．熟練掌握初等函數的連續(xù)性。

第5章  導數和微分

考試內容：

1．平面曲線切線與瞬時速問題度、導數定義、單側導數、導數的幾何意義、導函數；

2．導數的四則運算、反函數的導數、復合函數的導數；

3．微分的概念、微分的四則運算、一階微分形式不變性、近似計算與誤差估計；

4．高階導數與高階微分、參數方程和隱函數求導法。

基本要求：

1．熟練掌握導數的定義，幾何、物理意義；

2．掌握并熟練應用求導法則、求導公式；

3．會求各類函數的導數（復合、參量、隱函數、冪指函數、高階導數（萊布尼茲公式）；

4．掌握微分的概念，并會用微分進行近似計算；

5．掌握一元函數連續(xù)、可導、可微之間的關系。

第6章  微分中值定理及應用

考試內容：

1．費馬定理、羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理；

2．型不定式極限、型不定式極限、其它類型不定式極限；

3．函數的單調性與極值；

4．函數的凸凹性與拐點；

5．函數圖象的討論。

基本要求：

1．牢固掌握微分中值定理并會靈活應用；

2．會用洛比達法則求極限，會將其他類型的不定型轉化為和型；

3．掌握單調與符號的關系，并用它證明單調，不等式、求單調區(qū)間、極值等；

4．掌握凸函數概念及性質，利用判定凹凸性及拐點；

5．能通過一定的計算進行函數圖象的討論。

第7章  實數的完備性

考試內容：

確界原理、閉區(qū)間套定理、柯西收斂準則、聚點定理、致密性定理、有限覆蓋定理、單調有界定理。

基本要求：

1．了解下列基本概念：區(qū)間套、聚點、覆蓋與有限覆蓋、子列的概念；

2．了解實數完備性的六個等價定理的結論。

第8章  不定積分

考試內容：

1．原函數、不定積分、基本積分表、不定積分的線性運算法則。

2．第一換元積分法、第二換元積分法、分部積分法；

3．有理函數的積分、三角函數有理式的積分、某些簡單無理函數的積分。

基本要求：

1．掌握原函數與不定積分的概念，記住基本積分公式；

2．熟練掌握換元積分法、分部積分法；

3．熟練掌握有理函數積分步驟，并會求可化為有理函數的積分。

第9章  定積分

考試內容：

1．定積分的定義、函數的可積條件（必要條件，可積準則，可積函數類（三個充分條件））；

2．定積分的線性性質、區(qū)間的可加性、單調性、絕對可積性等性質，積分中值定理；

3．變上限積分函數概念與性質，牛頓-萊布尼茨公式、換元積分法、分部積分法。

基本要求：

1．掌握定積分定義、性質、可積條件，會利用定義進行一些數列極限的計算

2．熟練掌握微積分基本定理、積分中值定量，并會加以應用；

3．會熟練計算定積分；

4．掌握定積分的變換及其一定的應用。

第10章  定積分應用

考試內容：

1．平面圖形的面積、函數的平均值；

2．由截面面積求立體體積、旋轉體體積；

3．曲線的弧長；

4．旋轉曲面的面積；

5．微元法思想及應用。

基本要求：

1．要求能熟練計算各種平面圖形面積；

2．會由截面面積求立體體積，以及旋轉體的體積；

3．會利用定積分求孤長、旋轉體的側面積；

4．微元法思想及應用。

 

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