2015年湖北高考數(shù)學(xué)必會題型四

湖北2015年高考數(shù)學(xué)必會題型四

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　　函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化

　　例1　設(shè)定義域為R的函數(shù)f(x)=則關(guān)于x的函數(shù)y=2f2(x)-3f(x)+1的零點的個數(shù)為________.

　　破題切入點　將函數(shù)的零點問題轉(zhuǎn)化為對應(yīng)方程根的問題.

　　答案　7

　　解析　由y=2f2(x)-3f(x)+1=0得f(x)=或f(x)=1，

　　如圖畫出f(x)的圖象，由f(x)=知有4個根，

　　由f(x)=1知有3個根，故函數(shù)y=2f2(x)-3f(x)+1共有7個零點.

　　題型二　函數(shù)與不等式的轉(zhuǎn)化

　　例2　已知一元二次不等式f(x)<0的解集為{x|x<-1或x>}，則f(10x)>0的解集為________.

　　破題切入點　由題意，可得f(10x)>0等價于-1<10x<，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求解.

　　答案　{x|x<-lg 2}

　　解析　由題意可知f(x)>0的解集為{x|-10等價于-1<10x<，

　　由指數(shù)函數(shù)的值域為(0，+∞)，知一定有10x>-1，

　　而10x<可化為10x<10，

　　即10x<10-lg 2.

　　由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知x<-lg 2.

　　題型三　方程與不等式的轉(zhuǎn)化

　　例3　已知關(guān)于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.

　　(1)若方程有兩根，其中一根在區(qū)間(-1,0)內(nèi)，另一根在區(qū)間(1,2)內(nèi)，求m的取值范圍;

　　(2)若方程兩根均在區(qū)間(0,1)內(nèi)，求m的取值范圍.

　　破題切入點　將二次函數(shù)的特殊點按照題目要求固定到區(qū)間內(nèi)，轉(zhuǎn)化為不等式(組)進(jìn)行求解.

　　解

　　(1)由條件，拋物線f(x)=x2+2mx+2m+1與x軸的交點分別在區(qū)間(-1,0)和(1,2)內(nèi)，如右圖所示，

　　得

　　即-0}，且A∩B=，則實數(shù)p的取值范圍是________.

　　答案　(-4，+∞)

　　解析　當(dāng)A=時，Δ=(p+2)2-4<0，

　　∴-4-4.

　　2.已知函數(shù)f(x)=x2-2x+3在閉區(qū)間[0，m]上的最大值為3，最小值為2，則m的取值范圍為________.

　　答案　[1,2]

　　解析　∵f(x)=(x-1)2+2，其對稱軸為x=1，當(dāng)x=1時，f(x)min=2，故m≥1，又∵f(0)=3，f(2)=3，∴m≤2.綜上可知1≤m≤2.

　　3.方程x2-x-m=0在x∈[-1,1]上有實根，則m的取值范圍是________.

　　答案　[-，]

　　解析　m=x2-x=2-，x∈[-1,1].

　　當(dāng)x=-1時，m取最大值為，

　　當(dāng)x=時，m取最小值為-，∴-≤m≤.

　　4.已知函數(shù)f(x)=若關(guān)于x的方程f2(x)-af(x)=0恰有5個不同的實數(shù)解，則a的取值范圍是________.

　　答案　(0,1)

　　解析

　　設(shè)t=f(x)，

　　則方程為t2-at=0，

　　解得t=0或t=a，

　　即f(x)=0或f(x)=a.

　　如圖，作出函數(shù)f(x)的圖象，

　　由函數(shù)圖象，可知f(x)=0的解有兩個，

　　故要使方程f2(x)-af(x)=0恰有5個不同的解，

　　則方程f(x)=a的解必有三個，此時00，f(b)=(b-c)(b-a)<0，f(c)=(c-a)(c-b)>0.因此有f(a)·f(b)<0，f(b)·f(c)<0，

　　又因f(x)是關(guān)于x的二次函數(shù)，函數(shù)的圖象是連續(xù)不斷的曲線，

　　因此函數(shù)f(x)的兩零點分別位于區(qū)間(a，b)和(b，c)內(nèi).

　　6.已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c有兩個極值點x1，x2.若f(x1)=x10，且有4-a>0，故00時，f(x)在[-1,1]上有零點的條件是　解得a>.

　　綜上，實數(shù)a的取值范圍為.

　　10.已知定義在R上的單調(diào)遞增奇函數(shù)f(x)，若當(dāng)0≤θ≤時，f(cos2θ+2msin θ)+f(-2m-2)<0恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是________.

　　答案　(-，+∞)

　　解析　方法一　f(cos2θ+2msin θ)+f(-2m-2)<0f(cos2θ+2msin θ)-1-sin2θ.

　　當(dāng)θ=時，2m·0>-2，此時m∈R;

　　當(dāng)0≤θ<時，m>-，令t=1-sin θ，

　　則t∈(0,1]，此時m>-×=-(t+-2).

　　設(shè)φ(t)=-(t+-2)，

　　而φ(t)在t∈(0,1]上的值域是(-∞，-]，

　　故m>-.

　　方法二　同方法一，求得2m(1-sin θ)>-1-sin2θ，

　　設(shè)sin θ=t，則t2-2mt+2m+1>0對于t∈[0,1]恒成立.

　　設(shè)g(t)=t2-2mt+2m+1，其圖象的對稱軸方程為t=m.

　　
①當(dāng)m<0時，g(t)在[0,1]上單調(diào)遞增，

　　從而g(0)=2m+1>0，即m>-，

　　又m<0，所以-0，即m2-2m-1<0，

　　所以1-1時，g(t)在[0,1]上單調(diào)遞減，

　　從而g(1)=1-2m+2m+1=2>0恒成立，所以m>1.

　　綜合
①
②
③，可知m>-.

　　11.已知函數(shù)f(x)=2asin2x-2 asin xcos x+a+b(a≠0)的定義域是，值域是[-5,1]，求常數(shù)a，b的值.

　　解　f(x)=2a·(1-cos 2x)- asin 2x+a+b

　　=-2a+2a+b

　　=-2asin+2a+b，

　　又∵0≤x≤，∴≤2x+≤π，

　　∴-≤sin≤1.

　　因此，由f(x)的值域為[-5,1]