2015年湖北高考數(shù)學(xué)章節(jié)專題十五

湖北2015年高考數(shù)學(xué)章節(jié)專題十五

　　2015年湖北高考生正在努力備考中，湖北高考網(wǎng)整理了2015年湖北高考數(shù)學(xué)章節(jié)專題，希望對大家的復(fù)習(xí)有幫助。

　　一、選擇題

　　1.用數(shù)學(xué)歸納法證明1+a+a2+…+an+1=(a≠1，nN+)，在驗證n=1時，等號左邊的項是(　　)

　　A.1 B.1+a

　　C.1+a+a2 D.1+a+a2+a3

　　2.用數(shù)學(xué)歸納法證明“2n>n2+1對于n≥n0的自然數(shù)n都成立”時，第一步證明中的起始值n0應(yīng)取(　　)

　　A.2 B.3 C.5 D.6

　　3.已知f(n)=1+++…+(nN+)，證明不等式f(2n)>時，f(2k+1)比f(2k)多的項數(shù)是(　　)

　　A.2k-1項 B.2k+1項

　　C.2k項 D.以上都不對

　　4.用數(shù)學(xué)歸納法證明(n+1)(n+2)·…·(n+n)=2n·1·3·…·(2n+1)(nN+)，從“k到k+1”左端需增乘的代數(shù)式為(　　)

　　A.2k+1 B.2(2k+1)

　　C.2k-1 D.2k

　　5.用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)n為正奇數(shù)時，xn+yn能被x+y整除”時，第一步驗證n=1時，命題成立，第二步歸納假設(shè)應(yīng)寫成(　　)

　　A.假設(shè)n=2k+1(nN+)時命題正確，再推證n=2k+3時命題正確

　　B.假設(shè)n=2k-1(kN+)時命題正確，再推證n=2k+1時命題正確

　　C.假設(shè)n=k(kN+)時命題正確，再推證n=k+2時命題正確

　　D.假設(shè)n≤k(kN+)時命題正確，再推證n=k+2時命題正確

　　6.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式“++…+> (n>2)”時的過程中，由n=k到n=k+1時，不等式的左邊(　　)

　　A.增加了一項

　　B.增加了兩項，

　　C.增加了兩項，，又減少了一項

　　D.增加了一項，又減少了一項

　　二、填空題

　　7.用數(shù)學(xué)歸納法證明：1+2+3+…+n2=時，則n=k+1時的左端應(yīng)在n=k時的左端加上____________________________.

　　8.用數(shù)學(xué)歸納法證明：1+2+22+…+2n-1=2n-1 (nN+)的過程如下：

　　(1)當(dāng)n=1時，左邊=1，右邊=21-1=1，等式成立.

　　(2)假設(shè)當(dāng)n=k時等式成立，即1+2+22+…+2k-1=2k-1，則當(dāng)n=k+1時，1+2+22+…+2k-1+2k==2k+1-1.所以當(dāng)n=k+1時等式也成立.由此可知對于任何nN+，等式都成立.上述證明的錯誤是________________________.

　　9.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a1=1，Sn=n2an (nN+).依次計算出S1，S2，S3，S4后，可猜想Sn的表達(dá)式為________________.

　　三、解答題

　　10.試比較2n+2與n2的大小(nN+)，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論.

　　11.在數(shù)列{an}中，a1=，an+1=(n=1,2,3，…)

　　(1)求a2，a3;

　　(2)猜想數(shù)列{an}的通項公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論.

　　能力提升

　　12.已知f(n)=(2n+7)·3n+9，存在正整數(shù)m，使得對任意nN+都能使m整除f(n)，則最大的m的值為多少?并證明之.

　　13.等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知對任意的nN+，點(n，Sn)均在函數(shù)y=bx+r(b>0且b≠1，b，r均為常數(shù))的圖像上.

　　(1)求r的值;

　　(2)當(dāng)b=2時，記bn=2(log2an+1)(nN+)，

　　證明：對任意的nN+，不等式··…·>成立.

　　1.數(shù)學(xué)歸納法在證明與正整數(shù)n有關(guān)的等式、不等式、整除問題及數(shù)列問題中有廣泛的應(yīng)用.

　　2.在證明n=k+1時的命題中，怎樣變形使之出現(xiàn)n=k時的命題的形式是解決問題的關(guān)鍵，要找清n=k+1時式子結(jié)構(gòu)或幾何量的改變.知識梳理

　　1.某些與正整數(shù)n有關(guān)

　　2.(1)驗證：n=1時，命題成立　(2)當(dāng)n=k+1時，命題成立　一切正整數(shù)n

　　作業(yè)設(shè)計

　　1.C　[當(dāng)n=1時，an+1=a2.

　　等號左邊的項是1+a+a2.]

　　2.C　[當(dāng)n取1、2、3、4時2n>n2+1不成立，當(dāng)n=5時，25=32>52+1=26，第一個能使2n>n2+1的n值為5.]

　　3.C　[觀察f(n)的表達(dá)式可知，右端分母是連續(xù)的正整數(shù)，f(2k)=1++…+，

　　而f(2k+1)=1++…++++…+.

　　因此f(2k+1)比f(2k)多了2k項.]

　　4.B　[當(dāng)n=k時左端為(k+1)(k+2)·…·(k+k)，當(dāng)n=k+1時，左端為(k+2)(k+3)…(k+1+k-1)·(k+1+k)(k+1+k+1)，即(k+2)(k+3)…(k+k)·(2k+1)(2k+2).

　　觀察比較它們的變化知增乘了=2(2k+1).]

　　5.B　[因n為正奇數(shù)，所以否定C、D項;當(dāng)k=1時，2k-1=1,2k+1=3，故選B.]

　　6.C　[當(dāng)n=k時，左邊=++…+.

　　當(dāng)n=k+1時，左邊=++…+=++…++.]

　　7.(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2

　　8.沒有用到歸納假設(shè)，不是數(shù)學(xué)歸納法

　　9.Sn=

　　解析　S1=1，S2=，S3==，S4=，猜想Sn=.

　　10.證明　當(dāng)n=1時，21+2=4>n2=1，

　　當(dāng)n=2時，22+2=6>n2=4，

　　當(dāng)n=3時，23+2=10>n2=9，

　　當(dāng)n=4時，24+2=18>n2=16，

　　由此可以猜想，

　　2n+2>n2 (nN+)成立.

　　下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：

　　當(dāng)n=1時，左邊=21+2=4，右邊=1，

　　所以左邊>右邊，所以原不等式成立.

　　當(dāng)n=2時，左邊=22+2=6，

　　右邊=22=4，所以左邊>右邊;

　　當(dāng)n=3時，左邊=23+2=10，右邊=32=9，

　　所以左邊>右邊.

　　假設(shè)n=k時(k≥3且kN+)時，不等式成立，

　　即2k+2>k2，那么n=k+1時，

　　2k+1+2=2·2k+2=2(2k+2)-2>2k2-2.

　　要證當(dāng)n=k+1時結(jié)論成立，

　　只需證2k2-2≥(k+1)2，

　　即證k2-2k-3≥0，

　　即證(k+1)(k-3)≥0.

　　又k+1>0，k-3≥0，

　　(k+1)(k-3)≥0.

　　所以當(dāng)n=k+1時，結(jié)論成立.

　　由可知，nN+，2n+2>n2.

　　11.解　(1)a2===，a3===.

　　(2)猜想an=，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明此結(jié)論正確.

　　證明：當(dāng)n=1時，結(jié)論顯然成立.

　　假設(shè)當(dāng)n=k(kN+)時，結(jié)論成立，即ak=，

　　那么ak+1====.

　　也就是說，當(dāng)n=k+1時結(jié)論成立.

　　根據(jù)可知，結(jié)論對任意正整數(shù)n都成立，

　　即an=.

　　12.解　f(1)=36，f(2)=108=3×36，f(3)=360=10×36，

　　f(1)，f(2)，f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除.

　　證明：n=1,2時，由上得證，假設(shè)n=k(kN+，k≥2)時，f(k)=(2k+7)·3k+9能被36整除，

　　則n=k+1時，

　　f(k+1)-f(k)=(2k+9)·3k+1-(2k+7)·3k

　　=(6k+27)·3k-(2k+7)·3k

　　=(4k+20)·3k=36(k+5)·3k-2(k≥2).

　　f(k+1)能被36整除.

　　因此，對任意nN+，f(n)都能被36整除.

　　又f(1)不能被大于36的數(shù)整除，

　　所求最大的m值等于36.

　　13.(1)解　由題意：Sn=bn+r，

　　當(dāng)n≥2時，Sn-1=bn-1+r.

　　所以an=Sn-Sn-1=bn-1(b-1)，

　　由于b>0且b≠1，

　　所以n≥2時，{an}是以b為公比的等比數(shù)列.

　　又a1=b+r，a2=b(b-1)，

　　=b，即=b，解得r=-1.

　　(2)證明　當(dāng)b=2時，由(1)知an=2n-1，

　　因此bn=2n(n∈N+)，

　　所證不等式為··…·>.

　　當(dāng)n=1時，左式=，右式=.

　　左式>右式，所以結(jié)論成立，

　　假設(shè)n=k(kN+)時結(jié)論成立，

　　即··…·>，

　　則當(dāng)n=k+1時，

　　··…·>·=.

　　要證當(dāng)n=k+1時結(jié)論成立，

　　只需證≥，

　　即證≥，

　　由基本不等式=≥成立，

　　故≥成立，

　　所以當(dāng)n=k+1時，結(jié)論成立.

　　由可知，nN+時，不等式··…·>成立.