2015年湖北高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和

湖北2015年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和

　　2015年湖北高考生正在努力備考中，湖北高考網(wǎng)整理了2015年湖北高考數(shù)學(xué)輔導(dǎo)資料，希望對大家的復(fù)習(xí)有幫助。

　　一、選擇題

　　1.+1與-1兩數(shù)的等比中項(xiàng)是(　　)

　　A.1　　　B.-1

　　C.±1 D.

　　解析設(shè)等比中項(xiàng)為x，

　　則x2=(+1)(-1)=1，即x=±1.

　　答案C

　　2.設(shè){an}是任意等比數(shù)列，它的前n項(xiàng)和，前2n項(xiàng)和與前3n項(xiàng)和分別為X，Y，Z，則下列等式中恒成立的是(　　).

　　A.X+Z=2Y B.Y(Y-X)=Z(Z-X)

　　C.Y2=XY D.Y(Y-X)=X(Z-X)

　　解析　(特例法)取等比數(shù)列1,2,4，令n=1得X=1，Y=3，Z=7代入驗(yàn)算，選D.

　　答案　D

　　3.已知等比數(shù)列{an}為遞增數(shù)列.若a1>0，且2(an+an+2)=5an+1，則數(shù)列{an}的公比q=(　　).

　　A.2 B. C.2或 D.3

　　解析　2(an+an+2)=5an+1，2an+2anq2=5anq，

　　化簡得，2q2-5q+2=0，由題意知，q>1.q=2.

　　答案　A

　　4.在正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中，Sn是其前n項(xiàng)和.若a1=1，a2a6=8，則S8=(　　).

　　A.8 B.15(+1)

　　C.15(-1) D.15(1-)

　　解析　a2a6=a=8，aq6=8，q=，S8==15(+1).

　　答案　B

　　5.已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=t·5n-2-，則實(shí)數(shù)t的值為(　　).

　　A.4 B.5 C. D.

　　解析　a1=S1=t-，a2=S2-S1=t，a3=S3-S2=4t，由{an}是等比數(shù)列知2=·4t，顯然t≠0，所以t=5.

　　答案　B

　　6.在由正數(shù)組成的等比數(shù)列{an}中，若a3a4a5=3π，則sin(log3a1+log3a2+…+log3a7)的值為 (　　).

　　A. B. C.1 D.-

　　解析　因?yàn)閍3a4a5=3π=a，所以a4=3.

　　log3a1+log3a2+…+log3a7=log3(a1a2…a7)=log3a=7log33=，所以sin(log3a1+log3a2+…+log3a7)=.

　　答案　B

　　二、填空題

　　7.設(shè)1=a1≤a2≤…≤a7，其中a1，a3，a5，a7成公比為q的等比數(shù)列，a2，a4，a6成公差為1的等差數(shù)列，則q的最小值是________.

　　解析　設(shè)a2=t，則1≤t≤q≤t+1≤q2≤t+2≤q3，由于t≥1，所以q≥max{t，，}故q的最小值是.

　　8.在等比數(shù)列{an}中，若公比q=4，且前3項(xiàng)之和等于21，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式an=________.

　　解析　由題意知a1+4a1+16a1=21，解得a1=1，所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=4n-1.

　　答案　4n-1

　　9.設(shè)f(x)是定義在R上恒不為零的函數(shù)，且對任意的實(shí)數(shù)x，yR，都有f(x)·f(y)=f(x+y)，若a1=，an=f(n)(nN*)，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn的取值范圍是________.

　　解析　由已知可得a1=f(1)=，a2=f(2)=[f(1)]2=2，a3=f(3)=f(2)·f(1)=[f(1)]3=3，…，an=f(n)=[f(1)]n=n，

　　Sn=+2+3+…+n

　　==1-n，

　　n∈N*，≤Sn<1.

　　答案

　　10.等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，前n項(xiàng)和為Sn，給出下列四個(gè)命題：數(shù)列為等比數(shù)列;若a2+a12=2，則S13=13;Sn=nan-d;若d>0，則Sn一定有最大值.

　　其中真命題的序號是________(寫出所有真命題的序號).

　　解析　對于，注意到=an+1-an=d是一個(gè)非零常數(shù)，因此數(shù)列是等比數(shù)列，正確.對于，S13===13，因此正確.對于，注意到Sn=na1+d=n[an-(n-1)d]+d=nan-d，因此正確.對于，Sn=na1+d，d>0時(shí)，Sn不存在最大值，因此不正確.綜上所述，其中正確命題的序號是.

　　三、解答題

　　11.已知等比數(shù)列{an}中，a1=，公比q=.

　　(1)Sn為{an}的前n項(xiàng)和，證明：Sn=;

　　(2)設(shè)bn=log3a1+log3a2+…+log3an，求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式.

　　(1)證明　因?yàn)閍n=×n-1=，Sn==，所以Sn=.

　　(2)bn=log3a1+log3a2+…+log3an=-(1+2+…+n)=-.所以{bn}的通項(xiàng)公式為bn=-.

　　12.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，在數(shù)列{bn}中，b1=a1，bn=an-an-1(n≥2)，且an+Sn=n.

　　(1)設(shè)cn=an-1，求證：{cn}是等比數(shù)列;

　　(2)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式.

　　(1)證明　an+Sn=n，

　　∴an+1+Sn+1=n+1，

　　
②-得an+1-an+an+1=1，

　　2an+1=an+1，2(an+1-1)=an-1，

　　=.

　　首項(xiàng)c1=a1-1，又a1+a1=1.

　　a1=，c1=-，公比q=.

　　{cn}是以-為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列.

　　(2)解　由(1)可知cn=·n-1=-n，

　　an=cn+1=1-n.

　　∴當(dāng)n≥2時(shí)，bn=an-an-1=1-n-

　　=n-1-n=n.

　　又b1=a1=代入上式也符合，bn=n..已知兩個(gè)等比數(shù)列{an}，{bn}，滿足a1=a(a>0)，b1-a1=1，b2-a2=2，b3-a3=3.

　　(1)若a=1，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;

　　(2)若數(shù)列{an}唯一，求a的值.

　　解　(1)設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，則b1=1+a=2，b2=2+aq=2+q，b3=3+aq2=3+q2，由b1，b2，b3成等比數(shù)列得(2+q)2=2(3+q2).

　　即q2-4q+2=0，解得q1=2+，q2=2-.

　　所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=(2+)n-1或an=(2-)n-1.

　　(2)設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，則由(2+aq)2=(1+a)(3+aq2)，得aq2-4aq+3a-1=0(*)，

　　由a>0得Δ=4a2+4a>0，故方程(*)有兩個(gè)不同的實(shí)根.

　　由數(shù)列{an}唯一，知方程(*)必有一根為0，

　　代入(*)得a=.

　　13.數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和記為Sn，a1=t，點(diǎn)(Sn，an+1)在直線y=3x+1上，nN*.

　　(1)當(dāng)實(shí)數(shù)t為何值時(shí)，數(shù)列{an}是等比數(shù)列.

　　(2)在(1)的結(jié)論下，設(shè)bn=log4an+1，cn=an+bn，Tn是數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和，求Tn.

　　解　(1)點(diǎn)(Sn，an+1)在直線y=3x+1上，

　　an+1=3Sn+1，an=3Sn-1+1(n>1，且nN*).

　　an+1-an=3(Sn-Sn-1)=3an，an+1=4an(n>1，nN*)，a2=3S1+1=3a1+1=3t+1，

　　當(dāng)t=1時(shí)，a2=4a1，數(shù)列{an}是等比數(shù)列.

　　(2)在(1)的結(jié)論下，an+1=4an，an+1=4n，bn=log4an+1=n，cn=an+bn=4n-1+n，

　　Tn=c1+c2+…+cn=(40+1)+(41+2)+…+(4n-1+n)

　　=(1+4+42+…+4n-1)+(1+2+3+…+n)